1281 Вправа 1281Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 240

1281. У трикутник вписано ромб з діагоналями 12 см і 16 см так, що один кут у них спільний, а протилежна вершина ділить сторону трикутника у відношенні 2 : 3. Знайди сторони трикутника, які містять сторони ромба.

Дано: ромб AMNK, вписаний в △ABC; MK = 12 см; AN = 16 см; BN : NC = 2 : 3.

Знайти: AB, AC.

Розв'язання

AO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AN = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 16 = 8 (см); OK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$MK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 12 = 6 (см).

△AOK (∠O = 90°):

AK = ${\displaystyle \sqrt{8²+6²}}$ = 10 (см).

AM = MN = NK = AK = 10 см.

NK ∥ AB, тоді △KNC ~ △ABC: ${\displaystyle \frac{\mathrm{NK}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{CN}}{\mathrm{BC}}}$; ${\displaystyle \frac{10}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{3}{5}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{10\cdot 5}{3}}$ = ${\displaystyle \frac{50}{3}}$ = 16${\displaystyle \frac{2}{3}}$ (см).

MN ∥ AC, тоді △MBN ~ △ABC: ${\displaystyle \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{BC}}}$; ${\displaystyle \frac{10}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{2}{5}}$;

AC = ${\displaystyle \frac{10\cdot 5}{2}}$ = 25 (см).

Відповідь: 16${\displaystyle \frac{2}{3}}$ см і 25 см.