1239 Вправа 1239Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 237

1239. Через вершину A △ABC проведено пряму AK (K ∈ BC), яка перетинає медіану BM у точці P. Доведи, що: а) BK : KC = 1 : 2, якщо BP = PM; б) BK = KC, якщо BP : PM = 2 : 1.

Проведемо пряму ML ∥ AK (L ∈ BC).

а) Дано: △ABC;

AM = MC;

AK ∩ BM = P;

BP = PM.

Довести: BK : KC = 1 : 2.

Доведення

ML ∥ AK, AM = MC ⇒ KL = LC (за теоремою Фалеса для кута C).

PK ∥ ML, BP = PM ⇒ BK = KL (за теоремою Фалеса для кута B).

Тоді KC = KL + LC = 2BK, отже, BK : KC = 1 : 2.

б) Дано: BP : PM = 2 : 1.

Довести: BK = KC.

Доведення

ML ∥ AK, AM = MC ⇒ KL = LC.

PK ∥ ML ⇒ BK : KL = BP : PM = 2 : 1 (теорема про пропорційні відрізки), тоді KL = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BK.

KC = KL + LC = 2KL = BK. Отже, BK = KC.