1292 Вправа 1292Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 240

1292. Знайди площу △ABC, якщо висота BH = h, ∠A = α, ∠C = β.

Дано: △ABC; висота BH = h; ∠A = α; ∠C = β.

Знайти: S△ABC.

Розв'язання

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BH · AC.

△AHB (∠H = 90°):

tg A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AH}}}$; AH = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{tg}\alpha }}$.

△BHC (∠H = 90°):

tg C = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{HC}}}$; HC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{tg}\mathrm{\beta }}}$.

AC = AH + HC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{tg}\alpha }}$ + ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{tg}\mathrm{\beta }}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}(\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\mathrm{\beta })}{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\mathrm{\beta }}}$.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · h · ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}(\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\mathrm{\beta })}{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\mathrm{\beta }}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}²(\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\mathrm{\beta })}{2\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\mathrm{\beta }}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}²(\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\mathrm{\beta })}{2\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\mathrm{\beta }}}$.