1278 Вправа 1278Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 239

1278. Знайди всі медіани прямокутного трикутника з катетами 8 см і 12 см.

Дано: △ABC (∠C = 90°); BC = 8 см; AC = 12 см.

Знайти: медіани AK, BN, CM.

Розв'язання

△ABC (∠C = 90°):

AB² = AC² + BC² = 12² + 8² = 144 + 64 = 208;

AB = ${\displaystyle \sqrt{208}}$ = 4${\displaystyle \sqrt{13}}$ (см).

CM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{4\sqrt{13}}{2}}$ = 2${\displaystyle \sqrt{13}}$ (см) (медіана, проведена до гіпотенузи).

△NCB (∠C = 90°):

NC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = 6 (см);

BN² = NC² + BC² = 6² + 8² = 100;

BN = 10 см.

△ACK (∠C = 90°):

CK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC = 4 (см); AK² = AC² + CK² = 12² + 4² = 160;

AK = ${\displaystyle \sqrt{160}}$ = 4${\displaystyle \sqrt{10}}$ (см).

Відповідь: 4${\displaystyle \sqrt{10}}$ см; 10 см; 2${\displaystyle \sqrt{13}}$ см.