1260 Вправа 1260Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 238

1260. Паралелограм, сторони якого пропорційні числам 2 і 3, вписано в △ABC так, що кут A у них спільний. Знайди периметр паралелограма, якщо AB = 8 см, AC = 12 см.

Дано: паралелограм ADEF, вписаний в △ABC (D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ AC); AB = 8 см; AC = 12 см.

Знайти: PADEF.

Розв'язання

DE ∥ AC, тоді △BDE ~ △BAC (за двома кутами):

${\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}}$.

I. AD : AF = 2 : 3. Нехай AD = 2x см, DE = AF = 3x см;

BD = 8 – 2x.

${\displaystyle \frac{3\mathrm{x}}{12}}$ = ${\displaystyle \frac{8-2\mathrm{x}}{8}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{8-2\mathrm{x}}{8}}$;

2x = 8 – 2x;

4x = 8;

x = 2.

AD = 4 см, AF = 6 см; PADEF = 2(4 + 6) = 20 (см).

II. AD : AF = 3 : 2. Нехай AD = 3x см, DE = AF = 2x см;

BD = 8 – 3x.

${\displaystyle \frac{2\mathrm{x}}{12}}$ = ${\displaystyle \frac{8-3\mathrm{x}}{8}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{6}}$ = ${\displaystyle \frac{8-3\mathrm{x}}{8}}$;

8x = 6(8 – 3x);

8x = 48 – 18x;

26x = 48;

x = ${\displaystyle \frac{24}{13}}$.

PADEF = 2(3x + 2x) = 10x = ${\displaystyle \frac{240}{13}}$ = 18${\displaystyle \frac{6}{13}}$ (см).

Відповідь: 20 см або 18${\displaystyle \frac{6}{13}}$ см.