1264 Вправа 1264Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 238

1264. На сторонах AB і BC △ABC взято точки M і N так, що MN ∥ AC і півколо, побудоване на MN, як на діаметрі, дотикається до AC. Знайди його радіус, якщо AC = 30 см, а висота BH = 10 см.

Дано: △ABC; MN ∥ AC; K — точка дотику півкола до AC; AC = 30 см; BH = 10 см.

Знайти: r.

Розв'язання

OK = r;

MN = 2r;

DH = OK = r (D = MN ∩ BH).

MN ∥ AC, тоді △MBN ~ △ABC (за двома кутами).

${\displaystyle \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BH}}}$; BD = BH – DH = 10 – r.

${\displaystyle \frac{2\mathrm{r}}{30}}$ = ${\displaystyle \frac{10-\mathrm{r}}{10}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{r}}{15}}$ = ${\displaystyle \frac{10-\mathrm{r}}{10}}$ | · 30;

2r = 3(10 – r);

2r = 30 – 3r;

5r = 30;

r = 6 (см).

Відповідь: 6 см.