1279 Вправа 1279Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 239

1279. Знайди бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника з катетами 6 см і 8 см.

Дано: △ABC (∠C = 90°); AC = 8 см; BC = 6 см; AK і BM — бісектриси.

Знайти: AK, BM.

Розв'язання

△ABC (∠C = 90°):

AB = ${\displaystyle \sqrt{8²+6²}}$ = 10 (см).

За властивістю бісектриси: ${\displaystyle \frac{\mathrm{CK}}{\mathrm{KB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{10}}$ = ${\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Нехай CK = 4x, тоді KB = 5x;

4x + 5x = 6;

x = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

CK = 4 · ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ (см).

△ACK (∠C = 90°):

AK² = AC² + CK² = 64 + ${\displaystyle \frac{64}{9}}$ = ${\displaystyle \frac{640}{9}}$;

AK = ${\displaystyle \frac{8\sqrt{10}}{3}}$ (см).

За властивістю бісектриси: ${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{10}{6}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{3}}$.

Нехай AM = 5x, тоді MC = 3x;

5x + 3x = 8;

x = 1;

MC = 3 см.

△MCB (∠C = 90°):

BM² = MC² + BC² = 3² + 6² = 45;

BM = ${\displaystyle \sqrt{45}}$ = 3${\displaystyle \sqrt{5}}$ (см).

Відповідь: ${\displaystyle \frac{8\sqrt{10}}{3}}$ см; 3${\displaystyle \sqrt{5}}$ см.