1299 Вправа 1299Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 241

1299. Сторони прямокутника дорівнюють 4 см і 8 см. Знайди площу чотирикутника, вершини якого — точки перетину бісектрис кутів даного прямокутника.

Дано: прямокутник ABCD; AB = 4 см; BC = 8 см; AL, BN, CN, DL – бісектриси.

Знайти: SKLMN.

Розв'язання

За властивістю бісектриси прямокутника:

BL = AB = 4 см, тоді △ABL — рівнобедрений; L — середина BC. Аналогічно N — середина AD.

∠ABK = ∠BAK = 45°, тоді ∠AKB = 90°; ∠LKN = ∠AKB = 90° — як вертикальні. Аналогічно інші кути чотирикутника KLMN прямі.

Чотирикутник KLMN симетричний відносно прямої LN і KL = KN, тому KLMN — квадрат.

LN = AB = 4 см (діагональ квадрата). LN = KL${\displaystyle \sqrt{2}}$;

KL = ${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}$.

SKLMN = KL² = (${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}$)² = ${\displaystyle \frac{16}{2}}$ = 8 (см²).

Відповідь: 8 см².