1324 Вправа 1324Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 242

1324. Із середини сторони трикутника проведено прямі, паралельні двом іншим сторонам. Доведи, що площа утвореного чотирикутника дорівнює половині площі трикутника.

Дано: △ABC; AD = DC; DK ∥ BC (K ∈ AB); DM ∥ AB (M ∈ BC).

Довести: SKBMD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$S△ABC.

Доведення

За теоремою Фалеса K — середина AB, M — середина BC; DK і DM — середні лінії △ABC.

△AKD ~ △ABC з коефіцієнтом ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, тому S△AKD = ${\displaystyle \frac{1}{4}}$S△ABC.

△DMC ~ △ABC з коефіцієнтом ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, тому S△DMC = ${\displaystyle \frac{1}{4}}$S△ABC.

SKBMD = S△ABC – S△AKD – S△DMC = S△ABC – ${\displaystyle \frac{1}{4}}$S△ABC – ${\displaystyle \frac{1}{4}}$S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$S△ABC.