1258 Вправа 1258Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 238

1258. Точка M ділить сторону AD паралелограма ABCD на відрізки DM = 8 см і AM = 12 см. K — точка перетину прямих BM і CD. Доведи: а) △ABM ~ △DKM; б) △ABM ~ △CKB; в) △MKD ~ △BKC. Знайди периметр △ABM і △BKC, якщо периметр △MKD дорівнює p.

Дано: паралелограм ABCD; DM = 8 см; AM = 12 см; BM ∩ CD = K; P△MKD = p.

Доведення

а) △ABM і △DKM: ∠AMB = ∠DMK — як вертикальні; ∠BAM = ∠KDM — як внутрішні різносторонні при AB ∥ CD і січній AD. Тому △ABM ~ △DKM (за двома кутами).

б) △ABM і △CKB: ∠BAM = ∠BCK — як протилежні кути паралелограма; ∠ABM = ∠CKB — як внутрішні різносторонні при AB ∥ CK і січній BK. Тому △ABM ~ △CKB.

в) △MKD і △BKC: ∠K — спільний; ∠KDM = ∠KCB — як відповідні при MD ∥ BC і січній CD. Тому △MKD ~ △BKC.

Розв'язання

1. △ABM ~ △DKM: k = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MD}}}$ = ${\displaystyle \frac{12}{8}}$ = 1,5; P△ABM = 1,5p.

2. AD = AM + MD = 12 + 8 = 20 (см); BC = AD = 20 см.

△MKD ~ △BKC: k = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MD}}}$ = ${\displaystyle \frac{20}{8}}$ = 2,5; P△BKC = 2,5p.

Відповідь: 1,5p; 2,5p.