1269 Вправа 1269Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 239

1269. Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, на відрізки, пропорційні числам 2 і 5. Знайди сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 56 см.

Дано: △ABC, описаний навколо кола; AB = BC; OH : OB = 2 : 5; P△ABC = 56 см.

Знайти: AB, BC, AC.

Розв'язання

Центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис, тому AO — бісектриса △ABH.

За властивістю бісектриси трикутника:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{OB}}}$ = ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Нехай AH = 2x, тоді AB = 5x, AC = 2 · AH = 4x, BC = AB = 5x.

P△ABC = AB + BC + AC;

5x + 5x + 4x = 56;

14x = 56;

x = 4.

AB = BC = 20 см; AC = 16 см.

Відповідь: 20 см, 20 см, 16 см.