1290 Вправа 1290Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 240

1290. У рівнобічну трапецію з гострим кутом α вписано коло радіуса r. Знайди периметр і площу трапеції.

Дано: ABCD – трапеція, описана навколо кола; AB = CD; ∠A = α; OM = r.

Знайти: PABCD; SABCD.

Розв'язання

BH = 2r.

△AHB (∠H = 90°):

sin A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\sin \mathrm{A}}}$ = ${\displaystyle \frac{2\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$;

CD = AB = ${\displaystyle \frac{2\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$.

За властивістю описаної трапеції:

BC + AD = AB + CD = ${\displaystyle \frac{4\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$.

PABCD = BC + AD + AB + CD = ${\displaystyle \frac{8\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BH = ${\displaystyle \frac{2\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$ · 2r = ${\displaystyle \frac{4\mathrm{r}²}{\sin \alpha }}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{8\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$; ${\displaystyle \frac{4\mathrm{r}²}{\sin \alpha }}$.