1280 Вправа 1280Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 239

1280. Центр кола лежить на гіпотенузі прямокутного трикутника. Коло проходить через вершину більшого гострого кута і дотикається до більшого катета. Знайди радіус кола, якщо катети дорівнюють 12 см і 16 см.

Дано: △ABC (∠C = 90°); AC = 12 см; BC = 16 см; O ∈ AB; коло проходить через A і дотикається до BC у точці D.

Знайти: r.

Розв'язання

Більший гострий кут лежить проти більшого катета, тобто це ∠A.

OD = OA = r.

△ABC (∠C = 90°):

AB² = 12² + 16² = 400; AB = 20 см.

OD ⊥ BC, AC ⊥ BC ⇒ OD ∥ AC.

△BDO ~ △BCA (за двома кутами):

${\displaystyle \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{BA}}}$; BO = BA – OA = 20 – r.

${\displaystyle \frac{\mathrm{r}}{12}}$ = ${\displaystyle \frac{20-\mathrm{r}}{20}}$;

20r = 12(20 – r);

20r = 240 – 12r;

32r = 240;

r = 7,5 (см).

Відповідь: 7,5 см.